Математическое моделирование течений вязкой жидкости




Математическое моделирование течений вязкой жидкости - стр. 22


При этом задаются некоторой формой профиля скоростей в пограничном слое и, используя интеграль­ное соотношение Кармана, определяют напряжение трения tw на обтекаемой поверхности, а также такие интегральные величины, как толщина пограничного слоя   d, толщина вытеснения d* и толщина потери импульса d**. Такой способ решения называют приближенным методом.

В качестве примера рассмотрим приближенную математическую модель  продольного обтекания вязкой жидкостью плоской бесконечно тонкой пластины. Очевидно, в этом случае давление во всей области потока,  как и величина скорости вне пограничного слоя, будут величинами постоянными.

Граничные условия будут следующие:

а) при у=0 uх=uу=0.

Если рассмотреть первое дифференциальное уравнение пограничного слоя (1.20) - уравнение движения

то, т.к. для бесконечно тонкой плоской пластины

скорость потока не изменяется вдоль оси х, при у=0 имеем
.

Таким образом, при у ® 0 

.

б) при у=d uх=u¥;

 и тогда
.

Уравнение импульсов (или интегральное соотношение Кáрмана) для этой задачи имеет вид:

, (1.28)

т.к.

для тонкой плоской  пластины.

Идея интегрального соотношения состоит в задании неизвестного поля скоростей простейшим полиномом:

.

Значения коэффициентов а0, а1, а2,... могут быть найдены из граничных условий, причем для определения одного коэффициента полинома требуется одно граничное условие. Таким образом, количество членов полинома должно соответствовать количеству поставленных граничных условий.

Воспользуемся для начала тремя граничными условиями:

а) на стенке при у=0 ® uх=0,

б) на границе слоя при у=d ® uх=u¥ ;

.

Подставив эти граничные условия в полином, в котором берем три первых члена

, получим:

1)   при у=0,

® а0=0,

2)   при

,

3)   при

.

Из последних двух уравнений:

находим

, и
.

Следовательно, поле скоростей будет иметь вид:

 

 или в безразмерном виде
.

Зная

, можно найти d*, d**, tw:

;

.

Отсюда видно, что d>d*>d**, т.е. толщина пограничного слоя больше толщины вытеснения, а та, в свою очередь, больше толщины потери импульса.




Содержание  Назад  Вперед