Математическое моделирование течений вязкой жидкости




Математическое моделирование течений вязкой жидкости - стр. 39


В то время как коэффициенты молекулярного переноса (m и n) однозначно определяются физическими свойствами жидкостей и газов и их состоянием (температурой и давлением), но не зависят от динамических  свойств потоков, коэффициенты турбулентного переноса определяются прежде всего статистическими свойствами движения.

Чтобы вывести формулу для турбулентного напряжения трения, Прандтль использовал некоторые физические предпосылки и теорию размерностей.  Можно считать, что по аналогии с вязким трением величина турбулентного трения зависит от градиента скорости

, является функцией расстояния у от стенки и зависит от плотности жидкости r (формула (2.22)). Тогда формула для турбулентного напряжения трения, называемая формулой Прандтля, имеет  вид:

, (2.24)

где l - длина перемешивания, характеризующая собой масштаб турбулентности (т.е. средний размер связанных объемов жидкостей, участвующих  в турбулентном переносе).

Замечая, что расстояние "у'' данной точки от твердой стенки представляет собой единственную характерную для этой точки в безграничном  потоке длину, Прандтль предложил наиболее простую зависимость

l=æ×у,

где æ - коэффициент пропорциональности (числовая константа, определяемая  из опыта). Необходимо отметить, что эта формула имеет место лишь в пристеночной области. Подставив эту зависимость в формулу ( 2.24), получим:

.

Решая это уравнение относительно

и интегрируя по "у", получим профиль скоростей при турбулентном движении:

.  (2.25)

Этот так называемый логарифмический профиль скоростей в турбулентном потоке существенно отличается от ламинарного линейного распределения скоростей вблизи стенки.

Так как последняя формула была выведена в предположении, что исследуется движение на некотором расстоянии от стенки, то она может и не удовлетворяться при у=0 и, следовательно, нельзя находить произвольную постоянную "С"- из граничных условий на стенке. Действительно, при у = 0 скорость

должна быть равна нулю, а по уравнению при у=0 будет
.


Содержание  Назад  Вперед