Математическое моделирование течений вязкой жидкости



         

Математическое моделирование течений вязкой жидкости - стр. 14


Выведем уравнения пограничного слоя в случае плоского движе­ния несжимаемой вязкой жидкости, отвлекаясь для простоты от дей­ствия объемных (массовых) сил. Кроме того, пользуясь малостью толщины погранслоя по сравнению с размерами твердого тела (d<<L, это концепция Прандтля), а тем самым и радиусами кривизны его поверхности, будем считать сетку параллельных контуру тела кривых и нормалей к ним(см.рис.3)прямолинейной декартовой прямоугольной системой координат (x,y); начало координат поместим в переднюю критическую точку 0 обтекаемого тела. Тогда уравнения Навье-Стокса в этой системе координат будут иметь обычный для стационарного плоского движения несжимаемой жидкости вид:

 

 (1.1)

(1.2)

и уравнение неразрывности:

 (1.3)

Левые части первых двух уравнений - нелинейные, что делает зада­чу весьма сложной. Вводя теорию пограничного слоя, можно в значи­тельной части упростить математическую формулировку задачи плоско­го обтекания тела дозвуковым потоком.

Используем далее метод афинных преобразований, у которых собственные масштабы продольных и поперечных координат будут различными (в отличие от подобных преобразований, где существует один собственный масштаб по всем координатам).

Обозначим собственный масштаб продольных величин через lx, собственный масштаб поперечных величин - через ly. Соответственно этому, масштабы для чисел Маха запишутся как Мх,¥ и Му,¥ а для скоростей потока - uх,¥; uу,¥. Тогда:

.

Введем также значение р=р¥×р1. Параметры х1, у1, ux1,uу1, р1 - безразмерные величины.

Подставляя эти выражения в систему уравнений (1.1) - (1.3), получим:

 (1.4)

  (1.5)

  (1.6)

Приведем систему уравнений (1.4)-(1.6) к безразмерному виду, используя правило Бертрана, которое гласит, что если уравнение описывает физический процесс, то размерности правой и левой частей уравнения одинаковы. Тогда, разделив уравнение (1.4) на член

, уравнение (1.5) - на
, а уравнение (1.6) - на
, получим безразмерную систему уравнений:




Содержание  Назад  Вперед