Математическое моделирование течений вязкой жидкости




Математическое моделирование течений вязкой жидкости - стр. 15


 (1.7)

 (1.8)

 (1.9)

Для того, чтобы удовлетворялось уравнение неразрывности (1.9), необходимо, чтобы в нем

. Поскольку для пограничного слоя lх=l, lу=d, то получим
или
.

Это второе

основное свойство ламинарного пограничного слоя, в соответствии с которым поперечная скорость в области поперечного слоя имеет тот же порядок, что и толщина слоя.

Продолжим вывод уравнений Прандтля.

Поскольку на величины lу и uу,¥ не наложено ограничений, их можно выбрать такими, чтобы в уравнениях (1.7) и (1.8)

и
. Тогда из уравнения (1.7) получим следующее:

 (1.10)

Здесь учтено, что число

; число Эйлера
.

Уравнение (1.8) преобразуется к следующему виду:

(1.11)

Здесь проведены следующие преобразования для первого члена в правой части уравнения (8):

а) из условия

 ®
, следовательно
.

Это выражение аналогично первому основному свойству ламинарного пограничного слоя

, т.к. lу~d, lх~l;

б) из условия

 ®
;

в) тогда член

Уравнение (1.9), как было сказано выше, вновь приобретает вид уравнения неразрывности:

 (1.12)

Известно, что ламинарный погранслой образуется при очень больших числах Re. Если число Re®¥, то уравнения (1.10), (1.11) приобретут вид (т.к. 1/Re®0):

;  (1.13)

  (1.14)

В уравнении (1.14) присутствует член (

), для упрощения разделим все члены этого уравнения на Re¥, тогда оно примет вид

 (т.к.
). (1.15)

Получили систему уравнений: (1.13), (1.15), (1.12).

Вернемся вновь к размерным параметрам.

Используем для этого уже известные соотношения:

.

Подставим эти соотношения в уравнение (1.13):

Разделим полученное уравнение на

.

Так как было принято, что

 и
, откуда
, то с учетом этого получим окончательно:

  (1.16)

Теперь подставим известные афинные соотношения в уравнение (1.12):

Разделим оба члена на

, тогда

Так как было принято, что

, то получим окончательно:

 (1.17)

Уравнение (1.15) преобразуется к виду:

.

Как видно, система уравнений упрощается. В уравнении (1.16) пропадает член 

, бывший до афинного преобразования в уравнении (1.1), уравнение (1.2) пропадает из рассмотрения вовсе, так как остается только условие
; сохраняется лишь уравнение неразрывности (1.3) или (1.17).




Содержание  Назад  Вперед